名大附過去問挑戦 算数 その２

算数の「階段のぼり問題」

【問い】
Ａ君は、１歩で階段を１段または２段のぼります。
（１）階段を４段のぼる方法は何通りありますか。
（２）階段を６段のぼる方法は何通りありますか。階段の段数が増えるにつれて、のぼる方法はどのように増えていくかを考えて答えなさい。　

前回の続きです。

前回までの解説はこちら

さて、では階段の段数を増やしてみましょう。

階段を５段のぼる方法です。

図にすると、こうなりますね。

つまり、

「１→１→１→１→１」からは「１→１→１→２」、

「１→２→１→１」からは「１→２→２」、

「２→１→１→１」からは「２→１→２」も作れます。

では、いよいよ６段のぼる方法です。

最後の１歩が「１」の場合は、階段が１段増えると「１→１」と「２」の２通りになるということですので、６段のぼる方法を図にすると、こうなります。

文章と式にすると、次のようになります。

４段のぼる方法は５通りで、そのうち最後が「１」なのは３通りなので、

５段のぼる方法は

５＋３＝８

５段のぼる方法のうち、最後が「１」なのは５通りなので、

６段のぼる方法は

８＋５＝１３　　１３通り

ちなみに、階段の段数と、のぼる方法が何通りあるかを表にすると、こうなります。

のぼる方法は

「直前の２つの階段をのぼる方法」の数を足すと、次の数が求められます。

これは

フィボナッチ数列と同様の性質です。

フィボナッチ数列とは「前の２つの数を加えると次の数になる」という数列

この問題は、

もちろん、次のように場合分けをして単純にならべ方を考えることもできます。

２を使わない場合：「１→１→１→１→１→１」の１通り

２を１回使う場合：「１→１→１→１→２」「１→１→１→２→１」

　　　　　　　　　「１→１→２→１→１」「１→２→１→１→１」

　　　　　　　　　「２→１→１→１→１」の５通り

２を２回使う場合：「１→１→２→２」「１→２→２→１」「２→２→１→１」

　　　　　　　　　「１→２→１→２」「２→１→２→１」「２→１→１→２」の６通り

２を３回使う場合：「２→２→２」の１通り

１＋５＋６＋１＝１３　　１３通り

しかし、階段の段数が増えるにつれて、のぼり方はどのように増えていくかを考えるよう指示があるので、場合分けをして単純にならべ方を考えるのは適切ではありません。

なかなか奥が深い問題でしたね。

順序立てて落ち着いて考えていく必要がありますね。今日難しいなと思った人は、何も見ずにまずは1人で解いてみてください。

完全に理解できたら、類題もありますから、ぜひそちらにもチャレンジしてみましょう。